k = esponente isoentropico
L'importanza del k per la valvola di sicurezza
a cura di Alessandro Ruzza
Il dimensionamento delle valvole di sicurezza destinate allo scarico di gas o vapori, secondo la Raccolta “E” dell'Ispesl, richiede la conoscenza dell'esponente isoentropico k alle condizioni di scarico.
Un'applicazione non attenta del fascicolo “E.1” della raccolta "E", riguardante il dimensionamento delle valvole di sicurezza, può portare a una sovrastima della capacità di scarico delle valvole e dei dischi di rottura.
Questo articolo fornisce alcune linee guida per calcolare il valore di k per i gas reali ed
evidenziare l'errore considerando k uguale al rapporto dei calori specifici Cp/Cv
Efflusso isoentropico attraverso un ugello
La formula , che è utilizzata nella raccolta “E”, così come in altre normative italiane , ed estere , , per il calcolo delle valvole di sicurezza che devono scaricare gas o vapori, è quella dell'efflusso isoentropico attraverso un ugello in condizioni di salto critico, che per un gas ideale è:
dove il coefficiente di espansione C è dato da:
essendo k l'esponente dell'equazione dell'espansione isoentropico: 
| Fluido | P1 (bar) | T1 (°C) | q' (kg/h) | q (kg/ora) | (q'/q) x 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| Metano | 12 | 50 | 1472 | 1466 | 100.4 |
| Metano | 23 | 200 | 2314 | 2267 | 102.1 |
| Propano | 12 | 100 | 2261 | 2181 | 103.7 |
| Esano | 12 | 178 | 3099 | 2740 | 113.1 |
| Esano | 23 | 220 | 6519 | 5111 | 127.5 |
| Eptano | 12 | 215 | 3232 | 2821 | 114.4 |
q'= portata calcolata con k = Cp/Cv (20 °C, 1 atm)
q = portata calcolata con k = (Cp/Cv) • (Z/Zp)
Introducendo il coefficiente sperimentale k di efflusso della valvola di sicurezza, che considera globalmente le reali prestazioni di efflusso della valvola, un coefficiente di sicurezza di 0.9 ed il fattore di comprimibilità Z1 per il fluido reale si arriva alla formulazione della raccolta “E”:
L'esponente isoentropico k può essere espresso come:
Per un gas ideale, per cui P x V / R x T = 1 , è dimostrato che k è uguale al rapporto Cp/Cv tra i calori specifici a pressione e volume costanti.
Per un gas reale, k può essere espresso (vedi Appendice B) da:
dove Z è il fattore di comprimibilità definito da Z=PxV / RxT e Zp è il “fattore di comprimibilità derivato”. Quando si applica la formula ,, secondo la raccolta “E”, i valori di Cp/Cv, Z e Zp devono essere valutati alle condizioni di scarico P1 e T1.
Il fattore di comprimibilità derivato Zp è definito nella formula , come:
Il fattore di comprimibilità Z può essere espresso come:
e in modo analogo, Zp può essere espresso come:
dove i valori di Z^0, Z^1, Zp^0, Zp^1 sono tabulati in Appendice A in funzione di Pr e Tr.
In , ed ,, Ω è il fattore acentrico di Pitzer definito da:
Dove Pr^SAT è la tensione di vapore ridotta corrispondente ad un valore di temperatura ridotto Tr=T/Tc=0,7. L'appendice A mostra i valori Ω di alcuni fluidi. Z e Zp possono anche essere derivati direttamente da un'equazione di stato analitica.
Un esempio numerico
Passando ad un esempio numerico, supponiamo di dover calcolare la capacità di scarico di una valvola di sicurezza nelle seguenti condizioni:
| Fluido | n-Butano | |
| Stato fisico | vapore surriscaldato | |
| Massa molecolare | M | 58,119 |
| Pressione di taratura | P | 19,78 bar |
| Sovrapressione | 10% | |
| Temperatura del fluido | T | 400 K |
| Coefficiente di efflusso | 0,9 | |
| Diametro orifizio | Do | 100 mm |
la pressione di scarico è data da:
essendo per n-butano: Tc=425,18 K e Pc=37,96 bar, abbiamo:
ed utilizzando le tabelle dell'Appendice A, abbiamo:
Conoscendo il volume specifico del vapore alle condizioni di scarico (P1, T1) pari a 0,01634 m^3/kg (0,0009498 m^3/g-mole), avremmo potuto calcolare Z anche da:
Essendo il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costanti, alle condizioni di scarico (P1T1), pari a 1,36, dalla formula , si ha:
147060
Applicando la formula ,, che è stata risolta per il calcolo della portata, si ha un valore di portata di scarico di 147.060 kg / h.
174848
Se avessimo invece utilizzato il valore di Cp/Cv a 1 atm e 20 °C, avremmo avuto k = 1,19 e dalla formula , una portata di scarico di 174.848 kg / h.
Questo ci avrebbe portato a sopravvalutare lo scarico capacità della valvola di sicurezza di circa 19%
ATTENZIONE:
L'errore che si può commettere assegnando il valore Cp/Cv a k può essere molto superiore rispetto a questo esempio.
OLTRE IL 20%
Per dare un'idea, la tabella seguente mostra le portate di un orifizio di 18 mm per altri idrocarburi saturi, calcolate nei due casi. I calcoli sono stati eseguiti con un software appositamente sviluppato.
| Fluido | P1 (bar) | T1 (°C) | q' (kg/h) | q (kg/ora) | (q'/q) x 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| Metano | 12 | 50 | 1472 | 1466 | 100.4 |
| Metano | 23 | 200 | 2314 | 2267 | 102.1 |
| Propano | 12 | 100 | 2261 | 2181 | 103.7 |
| Esano | 12 | 178 | 3099 | 2740 | 113.1 |
| Esano | 23 | 220 | 6519 | 5111 | 127.5 |
| Eptano | 12 | 215 | 3232 | 2821 | 114.4 |
Il software non utilizza le formule , , ma, a partire dall' equazione di stato di Redlich e Kwongmodificata, calcola il valore dell'esponente isoentropico mediante correlazioni termodinamiche.
